Circuito resistivo série e paralelo para técnicos e engenheiros

Introdução

Neste capítulo você irá entender tudo sobre circuito com resistores em série e paralelo, com análise em corrente contínua. Essa é uma continuação da saga de análise de circuitos, tendo como base  o livro décima edição de Circuito Elétricos, por James W. Nilsson e Susan A. Riedel.

Resistores em série

Para definirmos o que são os resistores em série, vamos definir primeiro o que é nó (que já foi definido neste post).

• Nó: ponto no qual dois ou mais elementos de circuito se unem.

Na figura 3.1 abaixo, os nós são a , b , c , d , e, f, g e h . Note que no nó b, há o resistor R1 e R2 se conectando.

Definição: 2 resistores estão em série quando ambos, e apenas eles, se conectam em um único nó.

Observação: Não se preocupe com as correntes I2, I5 e I6 estarem "invertidas" de primeiro momento, isso é apenas a forma como o escritor usa de exemplo para representar as correntes nos resistores R2, R5 e R6. Porém, ao longo dos cálculos, nota-se que essas correntes vão se "ajustar", tendo seu sinal invertido para poderem seguir as leis.

Podemos aplicar a lei das correntes de Kirchhoff (se você ainda não conhece, clique aqui onde eu explico tudo detalhadamente com exemplos e exercícios) e notar que:

• Nó a:

$$ i_s = i_1 $$

• Nó b:

$$ i_1 = -i_2 $$

• Nó c:

$$ -i_2 = i_3 $$

• Nó d:

$$ i_3 = i_4 $$

• Nó e:

$$ i_4 = -i_5 $$

• Nó f:

$$ -i_5 = -i_6 $$

• Nó g:

$$ -i_6 = i_7 $$

• Nó h:

$$ i_7 = i_s $$

Logo, juntando todas as equações, nota-se que todas as correntes são iguais:

$$ i_s = i_1 = -i_2 = i_3 = i_4 = -i_5 = -i_6 = i_7 $$

Portanto, podemos concluir que a corrente em resistores em série é igual para todos. Redesenhando o circuito da figura 3.1 com apenas a corrente Is que vale para todos os resistores, temos o circuito da figura 3.2.

Para determinar Is, aplicamos a lei das tensões de Kirchhoff ao único caminho fechado.

$$ -v_s + v_{R_1} + v_{R_2} + v_{R_3} + v_{R_4} + v_{R_5} + v_{R_6} + v_{R_7} = 0 $$

$$ -v_s + i_sR_1 + i_sR_2 + i_sR_3 + i_sR_4 + i_sR_5 + i_sR_6 + i_sR_7 = 0 $$

$$ -v_s + i_s(R_1 + R_2 + R_3 + R_4 + R_5 + R_6 + R_7) = 0 $$

$$ v_s = i_s(R_1 + R_2 + R_3 + R_4 + R_5 + R_6 + R_7) $$

Podemos substituir os sete resistores por um único resistor cuja resistência é a soma das resistências individuais:

$$ R_{eq} = R_1 + R_2 + R_3 + R_4 + R_5 + R_6 + R_7 $$

Portanto:

$$ v_s = i_sR_{eq} $$

De modo geral, se k resistores estão ligados em série, o resistor equivalente tem uma resistência igual à soma das k resistências, ou:

Resistores em paralelo

• Definição: Resistores ligados em paralelo possuem a mesma tensão em seus terminais.

A figura 3.5 exemplifica isso, onde o ponto a representa a parte positiva da fonte, onde está sendo "levada" ao terminal superior dos resistores R1, R2, R3 e R4. Enquanto que o ponto b representa a parte negativa da fonte. Sendo assim, os quatro resistores possuem a mesma tensão em seus terminais.

Observação: Não cometa o erro de supor que dois resistores estão ligados em paralelo só porque estão alinhados em paralelo em um diagrama do circuito. Sempre analise os elementos pelas definições impostas de cada assunto.
Da mesma forma que fizemos com resistores em série, podemos definir um único resistor equivalente do circuito da figura 3.5 com os resistores em paralelo. Considerando as correntes de cada resistor sendo I1, I2, I3 e I4, temos que, pela lei das correntes de Kirchhoff:

$$ i_s = i_1 + i_2 + i_3 + i_4 (I) $$

A ligação paralela dos resistores implica que a tensão em cada um deles é igual, logo, pela lei de Ohm:

$$ i_1R_1 = i_2R_2 = i_3R_3 = i_4R_4 = v_s $$

Portanto:

$$ i_1= \frac{v_s}{R_1} $$

$$ i_2= \frac{v_s}{R_2} $$

$$ i_3= \frac{v_s}{R_3} $$

$$ i_4= \frac{v_s}{R_4} $$

Substituindo essas equações das correntes na equação (I), tem-se que:

$$ i_s = \frac{v_s}{R_1} + \frac{v_s}{R_2} + \frac{v_s}{R_3} + \frac{v_s}{R_4} $$

$$ i_s = v_s(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} + \frac{1}{R_4}) $$

$$ \frac{i_s}{v_s} = \frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} + \frac{1}{R_4} $$

De modo geral, se k resistores estão ligados em paralelo, o inverso do resistor equivalente tem uma resistência igual à soma das k resistências inversas, ou:

Em casos mais fáceis e rápidos, quando há apenas dois resistores em paralelo, podemos utilizar a equação abaixo:

$$ \frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} = \frac{R_2+R_1}{R_1R_2} $$

$$ R_{eq} = \frac{R_1R_2}{R_2+R_1} $$

Resolução do exemplo 3.1

Ver resolução

Nota-se que os resistores de 3Ω e 6Ω estão em série, logo, podemos soma-los e obter a resistência equivalente deles, que dá 9Ω:

Note agora que os resistores de 18Ω e 9Ω estão em paralelo, logo, podemos somar seus inversos, ou, utilizar a expressão para 2 resistores em paralelo:
$$ R_{eq} = \frac{R_1R_2}{R_2+R_1} = \frac{18\cdot9}{18+9} = \frac{162}{27} = 6\Omega $$

Nota-se que os resistores de 4Ω e 6Ω estão em série, logo, podemos soma-los e obter a resistência equivalente deles, que dá 10Ω. Com isso, podemos encontrar a corrente Is:

$$ 120V = i_s10\Omega $$

$$ i_s = \frac{120V}{10\Omega} = 12A $$

Podemos encontrar a tensão V1, nos pontos x e y:

$$ v_1 = i_s6\Omega $$

$$ v_1 = 12\cdot6 = 72V $$

Com a tensão V1, nos pontos x e y, podemos encontrar as correntes I1 e I2:

$$ i_1 = \frac{v_1}{18\Omega} = \frac{72}{18} = 4A $$

$$ i_2 = \frac{v_1}{9\Omega} = \frac{72}{9} = 8A $$

Resumo

Resistores em série:

• Resistência equivalente: soma-se o valor da resistência dos resistores.
• A corrente é igual para todos os resistores em série.

Resistores em paralelo:

• Resistência equivalente inversa: soma-se o valor inverso da resistência dos resistores.
• A tensão é igual para todos os resistores em paralelo.

Conclusão

Chegamos ao final de mais um capítulo. Conseguimos definir claramente o que são resistores em série e em paralelo, além de demonstrar todos os cálculos que dão origem aos resistores equivalentes de cada uma das duas modalidades.

10/08/2025